Matemática - sistema de equaçõ

Sistema de equações lineares

Um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares nas mesmas variáveis.

Em matemática, a teoria de sistemas lineares é um ramo da álgebra linear, uma matéria que é fundamental para a matemática moderna. Algoritmos computacionais para achar soluções são uma parte importante da álgebra linear numérica, e tais métodos têm uma grande importância na engenharia, física, química, ciência da computação e economia. Um sistema de equações não-lineares freqüentemente pode ser aproximado para um sistema linear, uma técnica útil quando se está fazendo um modelo matemático ou simulação computadorizada de sistemas complexos.

 Técnicas de resolução

Existem vários métodos equivalentes de resolução de sistemas.

 Método da substituição

O método da substituição consiste em isolar uma incógnita em qualquer uma das equações, obtendo igualdade com um polinômio. Então deve-se substituir essa mesma incógnita em outra das equações pelo polinômio ao qual ela foi igualada.

 Sistemas com duas equações

Um sistema com duas equações lineares se apresenta por:

Onde X e Y são as incógnitas.

Para solucioná-lo por substituição, substituem-se as variáveis em suas equações por seus polinômios correspondentes:

Portanto:

 Método da soma

O método da soma é o mais direto para se resolverem os sistemas, pois é uma forma simplificada de usar o método da substituição. Só é possível quando as equações são dispostas de forma que, ao subtrair ou somar os polinômios das equações, todas as incógnitas, exceto uma, se anulam. É mais simples e direto que o outro método 3x = 21

 Sistemas com duas equações

Para solucionar um sistema como o apresentado a seguir por soma, onde e são as incógnitas, deve-se subtrair os polinômios das equações.

O método da soma é possível apenas com determinadas incógnitas, dependendo das equações do sistema. Nesse caso, é possível apenas com uma. A outra deve ser determinada substituindo o valor descoberto para a primeira incógnita em uma das equações do sistema.

 Método da comparação

Consiste em compararmos as duas equações do sistema, após termos isolado a mesma variável (x ou y) nas duas equações. e as equações ficam mais detalhadas.

 Fatorizações de matrizes

Os métodos mais utilizados computacionalmente para resolver sistemas lineares envolvem fatorizações de matrizes. O mais conhecido, a eliminação de Gauss, origina a fatoração LU. Resolver o sistema Ax=b é equivalente a resolver os sistemas mais simples Ly=b e Ux=6.

 Regra de Cramer

A Regra de Cramer é um método resolver sistemas lineares utilizando determinantes.

Considere o sistema:

Pela regra de Cramer:

Em que Dx é o determinante da matriz dos termos do sistema excluindo a linha dos coeficientes de x. Os coeficientes "e" e "f" devem ficar à esquerda da matriz, e os coeficientes "b" e "d" à direita. D é o determinante da matriz dos coeficientes das incógnitas.

Para calcular o y basta trocar o Dx pelo Dy, que deve ser calculado da mesma forma, calculando o determinante da matriz dos termos do sistema excluindo a coluna dos coeficientes de y. No caso de Dy, no entanto, a coluna contendo as constantes "a" e "c" fica à esquerda, enquanto a coluna com "e" e "f" fica à direita.

Esse método serve para sistemas de qualquer tamanho, desde que o numero de incógnitas seja igual ao numero de equações. E muitas vezes esse método se mostra o caminho mais facil para solução de um sistema.

Equação linear

Uma equação linear é uma equação envolvendo apenas somas ou produtos de constantes e variáveis do primeiro grau; em particular, uma equação linear não pode conter potências nem produtos de variáveis.

Equações lineares podem ter uma ou mais variáveis. Esse tipo de equação ocorre regularmente no campo da matemática aplicada. Isso acontece naturalmente durante a modelagem de um fenômeno, sendo particularmente útil quando equações não-lineares podem ser reduzidas para equações lineares, assumindo que as quantidades de interesse variam apenas de forma pequena de alguns "antecedentes" do estado.

 Equações lineares monovariáveis

O conjunto das soluções da equação y=ax+b é a recta que passa pelos pontos (-b/a,0) e (0,b).

Uma equação linear monovariável ou a uma variável é toda equação que possa ser representada na forma: , com a diferente de zero.

A solução desta equação pode ser interpretada como o abscissa do ponto em que a função corta a origem. Onde:

• f(x): é a coordenada y
• x: é a coordenada x
• a: coeficiente angular y, não-nulo por hipótese.
• b: coeficiente linear y

  Equações lineares com duas variáveis

As equações:

• x + y = 10
• x − y = 3
• x = 5y + 5
• 3y = x + 2

podem ser escritas na forma:

ax + by = c,com a e b diferentes de zero.

por exemplo:

• x + y = 10 → a = 1, b = 1 e c = 10
• x − y = 3 → a = 1, b = − 1 e c = 3
• x = 5y + 5 → x − 5y = 5 → a = 1, b = − 5 e c = 5
• 3y = x + 2 → − x + 3y = 2 → a = − 1, b = 3 e c = 2

As soluções de uma equação do 1º grau com duas incógnitas são pares ordenados. Por exemplo, a equação:

x + y = 10

tem como soluções os pares ordenados (1,9);(2;8);(3/2,17/2);(-1,11);(4,6);etc.

qualquer duvida: chinegil@yahoo.com vou te explicar...